직관을 따르는 용기 |

테일러(Taylor)전개와 관련된 미분 문제
Mathematics | 2011/08/12 21:28

함수 $f:R \rightarrow R$ 의 이계도함수 $f''(x)$ 가 구간 [0,1]에서 존재하고 유계이다.
모든 자연수 n에 대하여 $0<a_n<1$ 인 수열 ${a_n}$ 에 대하여 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 은 발산하지만,

$\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}^2$ 은 수렴한다.
무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty}f(a_n)}$ 이 수렴하면, 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \left |f(a_n) \right|$ 도 수렴함을 보여라.
(sum때문에 배열이 이상합니다.)

테일러와 연관이 깊은건 아니지만, 아는게 테일러뿐이라..

우선 문제를 풀기 전

$f(x)$ 가 폐구간 [a,b]에서 연속이고 개구간 (a,b)에서 미분가능할 때, $f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(c)$ 임은 Role, Cauchy theorem 으로 알수 있다.

마찬가지로

$f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(b-a)^3}{3!}f'''(c)$ 이다.

$pf)$

$\sum |a_n| \leq M$

$0 \leq |a_n|+a_n \leq 2|a_n|$

$\therefore \sum(|a_n|+a_n) \leq 2 \sum|a_n| \leq 2M$

$1) \sum{a_n}^2$ converges

$\lim_{n \to \infty}{a_n}^2=0, \lim_{n \to \infty}a_n=0$

$\sum f(a_n)$ converges

$\lim_{n \to \infty}f(a_n)=0$

$\therefore f(0)=0$

$2) f(a_n)=f(0)+a_nf'(0)+\frac{{a_n}^2}{2!}f''(c_n)=a_nf'(0)+\frac{{a_n}^2}{2!}f''(c_n)$

$3) \sum^{\infty}|{a_n}^2f''(c_n)|=\sum^{\infty}{a_n}^2|f''(c_n)| \leq M \sum^{\infty}{a_n}^2$

$\therefore \sum^{\infty}{a_n}^2f''(c_n)$ 수렴

$2') f'(0)\sum a_n = \sum f(a_n)-\frac{{a_n}^2}{2!}\sumf''(c_n)$ 인데, 좌변에서

$\sum a_n$ 이 발산이고 우변이 수렴하기 때문에

$\therefore f'(0)=0$

$\therefore f(a_n)=\frac{{a_n}^2}{2!}f''(c_n)$

$\sum |f(a_n)|= \sum|\frac{{a_n}^2}{2!}f''(a_n)| (\because 4)$

$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}|f(a_n)|$ 은 수렴한다.

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

테일러(Taylor)전개와 관련된 미분 문제 (1)	2011/08/12
편도함수 (0)	2011/07/20
전미분(total differentiation) (0)	2011/07/04
테일러 정리(Taylor Theorem)와 테일러 급수(Taylor Series) (0)	2011/04/04
회전 변환 (0)	2011/03/23
젠센 부등식(Jensen's inequality) (0)	2011/02/22

트랙백0 | 댓글1

이 글의 관련글(트랙백) 주소 :: http://laplandjin.tistory.com/trackback/88

편도함수
Mathematics | 2011/07/20 21:49

전미분 공부하다 생각나서 편미분도 함께 포스팅

일반적으로 $f$ 가 두 변수 $x,y$ 의 함수일 때, $y=b$ (상수)로 $y$ 를 고정하고 $x$ 만 변화시킨다고

가정하자.

그러면 $g(x)=f(x,b)$ 를 생각할 수 있다. 만일 $g$ 가 $a$ 에서 도함수를 가지면, 그것을 $(a,b)$ 에

서 $x$ 에 관한 $f$ 의 편도함수라고 부르고 $f_x(a,b)$ 로 표시한다.

$g(x)=f(x,b)$ 인 경우, $f_x(a,b)=g'(a)$

즉,

$f_x(a,b)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}$

$f_y(a,b)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}$

편도함수의 표기법

$z=f(x,y)$ 일 때, $f_y(x,y)=f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}f(x,y)=f_2=D_2f=D_yf$ $f_x(x,y)=f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=f_1=D_1f=D_xf$

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

테일러(Taylor)전개와 관련된 미분 문제 (1)	2011/08/12
편도함수 (0)	2011/07/20
전미분(total differentiation) (0)	2011/07/04
테일러 정리(Taylor Theorem)와 테일러 급수(Taylor Series) (0)	2011/04/04
회전 변환 (0)	2011/03/23
젠센 부등식(Jensen's inequality) (0)	2011/02/22

트랙백0 | 댓글0

이 글의 관련글(트랙백) 주소 :: http://laplandjin.tistory.com/trackback/86

전미분(total differentiation)
Mathematics | 2011/07/04 21:32

1변수함수 $y=f(x)$ 에 대하여 미분 $dx$ 를 독립변수로 정의한다. 즉, $dx$ 는 임의의 실수값으로

주어질 수 있다. 이때 $y$ 의 미분은 다음과 같이 정의된다.

$dy=f'(x)dx$ $\Delta y$ 는 $x$ 가 $dx=\Delta x$ 만큼 변하였을 때 곡선 $y=f(x)$ 의 높이 변화를

나타내고, $dy$ 는 $x$ 가 $dx=\Delta x$ 만큼 변하였을 때 접선의 높이 변화를 나타낸다.

2변수함수 $z=f(x,y)$ 에 대하여 미분 $dx,dy$ 를 독립변수로 정의하자. 즉, $dx, dy$ 는

임의값으로 주어질 수 있다. 이때 미분 $dz$ 는 다음과 같이 정의된다.

$dz=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

이 경우에 미분 $dz$ 는 전미분(total differential)이라고 부르기도 한다.

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

테일러(Taylor)전개와 관련된 미분 문제 (1)	2011/08/12
편도함수 (0)	2011/07/20
전미분(total differentiation) (0)	2011/07/04
테일러 정리(Taylor Theorem)와 테일러 급수(Taylor Series) (0)	2011/04/04
회전 변환 (0)	2011/03/23
젠센 부등식(Jensen's inequality) (0)	2011/02/22

트랙백0 | 댓글0

이 글의 관련글(트랙백) 주소 :: http://laplandjin.tistory.com/trackback/85

테일러 정리(Taylor Theorem)와 테일러 급수(Taylor Series)
Mathematics | 2011/04/04 02:20

테일러 정리

함수 $f(x)$ 가 어떤 구간 $I$ 에서 $n+1$ 회 미분가능이라 하고, 이 구간에서 $a$ 를 상수, $x$ 를 임의의 수라 할 때, 다음을 만족시키는 $c$ 가 $a$ 와 $x$ 사이에 있다. 즉, $a<c<x$ 이다

$f(x)=f(a)+\frac{{f(a)}'}{1!}(x-a)+\frac{{f(a)}''}{2!}{(x-a)}^2+\cdots+\ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$

특히, $a=0$ 인 경우를 $Maclaurin Theorem$ 이라 한다

$f(x)=f(0)+\frac{{f(0)}'}{1!}x+\frac{{f(0)}''}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)$

여기서 $R_n(x)=\int_{0}^{x}f^{(n+1)}(t)\frac{{(x-t)}^n}{n!}dt$

테일러 급수

테일러 정리에서 

$\lim_{n->\infty}\frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}=0$ 이면 함수 $f(x)$ 는 테일러 급수로 전개된다 하고,

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n$ 로 나타낼 수 있다

맥클로린 급수 또한 $a=0$ 인 경우, 위와 같다

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

편도함수 (0)	2011/07/20
전미분(total differentiation) (0)	2011/07/04
테일러 정리(Taylor Theorem)와 테일러 급수(Taylor Series) (0)	2011/04/04
회전 변환 (0)	2011/03/23
젠센 부등식(Jensen's inequality) (0)	2011/02/22
π(pi)값 유도 (0)	2010/12/28

트랙백0 | 댓글0

이 글의 관련글(트랙백) 주소 :: http://laplandjin.tistory.com/trackback/34

[PREV] [1][2][3][4][5] ... [12] [NEXT]

관리자 | 글쓰기

wir mussen wissen, wir werden wissen!

- Lapland


	Category

Jin (45)

220.284 (2)

Mathematics (39)

classic&music (4)


	TAGS


	Recent Entries

테일러(Taylor)전개와 관련된.. (1)
편도함수
전미분(total differentiation)
테일러 정리(Taylor Theorem)..
Anton Webern - Im summerwind (1)


	Recent Comments

군의 정의에서 말하는 연산 ★..
04/06 - l조조하사l

Pf 다음 세번 째 줄하고 기함..
02/27 - tanh

다른 좋은 정보 얻고 지나가다..
2011 - 지나가다

[비밀댓글]
2011 -

노래 좋네요 @@
2011 - mathboy


	Recent Trackbacks


	Calendar


	Archive


	Link Site


	Visitor Statistics

Total : 11,341
Today : 1
Yesterday : 21

티스토리 가입하기!

위치로그 : 태그 : 방명록 : 관리자
Lapland's Blog is powered by Daum / Designed by plyfly.net

티스토리 툴바

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

'Mathematics' 카테고리의 다른 글