직관을 따르는 용기

작년 겨울
Mathematics | 2010. 9. 5. 01:01

풀었던 것

책 구석에 적혀있던 것

$\\ \sum_{k=1}^{n}(k^2+1)k!=n(n+1)!$

$\\ pf)$

$1) n=1$ 일 때, $\\ (1^2+1)1!=2=1(1+1)!=2$

$\\ 2) n=p$ 일 때 성립한다고 가정하자.

$\\ n=p+1$ 을 살펴보자.

$\\ \sum_{k=1}^{p+1}(k^2+1)k!=\sum_{k=1}^{p}(k^2+1)k!+[(p+1)^2+1](p+1)!$

$= p(p+1)!+(p^2+2p+2)(p+1)!$

$= (p+1)!(p^2+3p+2)$

$=(p+1)(p+2)!$

n=p+1 일 때도 성립하므로 위의 준식은 모든 자연수에 대해 성립한다.

처음엔 좌변만 주어져서 일일이 대입하다 규칙을 발견한건데,

귀납적으로 말고 바로 끌어낼 수 있는 법을 생각해봐야겠다.

wir mussen wissen, wir werden wissen!

- Lapland

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