군.환.체의 정의(공리)

군(群)의 정의

  다음의 공리를 만족하는 집합 G를 '군'이라고 부른다.

• 연산 ★에 대해 닫혀 있다.
• 임의의 원(元)에 대해 결합법칙이 성립한다.
• 항등원이 존재한다.
• 임의의 원에 대해 그 원에 대한 역원이 존재한다.

 *아벨군의 정의에서는 '임의의 원에 대해 교환법칙이 성립한다'를 추가하면 됨

환(環)의 정의

  다음의 공리를 만족하는 집합을 '환(環)'이라고 부른다.

  -연산 ＋(덧셈)에 대해

• 닫혀 있다.
• 항등원이 존재한다.('0'이라고 부른다.)
• 모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
• 모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.
• 모든 요소에 대해 역원이 존재한다.

 -연산 ×(곱셈)에 대해

• 닫혀 있다.
• 항등원이 존재한다.('1'이라고 부른다.)
• 모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
• 모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.

 -연산 ＋와 ×에 대해

• 모든 요소에 대해 분배법칙이 성립한다.

체(體)의 정의

  다음의 공리를 만족하는 집합을 '체(體)'라고 부른다.

 -연산 ＋(덧셈)에 대해

• 닫혀 있다.
• 항등원이 존재한다.('0'이라고 부른다.)
• 모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
• 모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.
• 모든 요소에 대해 역원이 존재한다.

 -연산 ×(곱셈)에 대해

• 닫혀 있다.
• 항등원이 존재한다.('1'이라고 부른다.)
• 모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
• 모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.
• 0 이외의 모든 요소에 대해 역원이 존재한다.

 -연산 ＋와 ×에 대해

• 모든 요소에 대해 분배법칙이 성립한다.