직관을 따르는 용기 | problem4

직관을 따르는 용기

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Mathematics | 2010. 8. 2. 00:06

실수 수열 $a_1,a_2,a_3, \cdots , a_j$ 가 $a_{i+j} \leq a_i+a_j$ 을 만족할 때,

$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_n}{n} \geq a_n$ 이 성립함을 보여라.

$pf)$

$i)$ $n=1$ 일 때, $a_1 \geq a_1$ (참)

$ii) n=1,2,3, \cdots , k$ 일 때 참이라 가정하자.

$a_1 \geq a_1$

$a_1+ \frac{a_2}{2} \geq a_2$

$a_1+ \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} \geq a_3$

$\cdots$

$a_1+ \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3}+ \frac{a_4}{4}+ \cdots + \frac{a_k}{k} \geq a_k$

모든 항을 더한다.

$ka_1+(k-1)\frac{a_2}{2}+(k-2)\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k} \geq a_1+a_2+a_3+ \cdots + a_k$

$(k+1) \left (a_1+ \frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k} \right) \geq 2(a_1+a_2+a_3 + \cdots + a_k)$

$=(a_1+a_k)+(a_2+a_{k-1})+(a_3+a_{k-2})+ \cdots +(a_k+a_1)$

$\geq ka_{k+1}$

$a_{k+1}$ 을 더하면,

$(k+1) \left(a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k}+ \frac{a_{k+1}}{k+1} \right) \geq (k+1)a_{k+1}$

$\therefore a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k}+ \frac{a_{k+1}}{k+1} \geq a_{k+1}$

$n=k+1$ 인 경우에도 성립한다.

$\therefore a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots +\frac{a_n}{n} \geq a_n$

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