직관을 따르는 용기

$\\ a_i \in R^+ (i=1,2, \cdots n)$ 이고 $\sum_{i=1}^{n}a_i=1$ 일 때,

$\\ S= \frac{a_1}{1+a_2+a_3+ \cdots +a_n}+\frac{a_2}{1+a_1+a_3+ \cdots +a_n}+ \cdots + \\ \frac{a_n}{1+a_1+a_2+ \cdots + a_{n-1}}$

의 최솟값을 구하여라.

$\\ sol)$

$\\ S= \sum_{i=1}^{n}\frac{a_i}{2-a_i}=2 \left( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2-a_i} \right)-n \\ 2-a_i > 0 ( \because \sum_{i=1}^{n}a_i=1, a_i>0)$

Cauchy부등식에 의해

$\left( \sum_{i=1}^{n}(2-a_i) \right) \left( \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2-a_i} \right) \geq n^2$

$\\ \sum_{i=1}^{n}(2-a_i)=2n-\sum_{i=1}^{n}a_i=2n-1 \\ \therefore \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2-a_i} \geq \frac{n^2}{2n-1} \\ \therefore S \geq \frac{2n^2}{2n-1}=\frac{n}{2n-1}$

위 식은 $2-a_i$ 와 $\frac{1}{2-a_i}$ 가 비례할 때, 즉 $a_1=a_2= \cdots =a_n$ 일 때 등호가 성립한다.

$\\ \therefore a_i=\frac{1}{n}$ 일 때, S는 최솟값 $\frac {n}{2n-1}$ 을 가진다.

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