직관을 따르는 용기

$x$ 가 실수이고 $n$ 이 자연수일 때, 다음을 증명하여라.

$[nx] \geq \frac{[x]}{1}+\frac{[2x]}{2}+ \cdots +\frac{[nx]}{n}$

$pf)$

먼저 $n=1$ 일 때, $[x]=[x] \cdots (1)$

$A_k=\frac{[x]}{1}+\frac{[2x]}{2}+ \cdots +\frac{[kx]}{k}$

$A_1 \leq [x],A_2 \leq [2x], \cdots , A_{n-1} \leq [(n-1)x]$ 라고 하자.

그렇다면 n일 때에도 (1)이 성립한다는 것을 증명하겠다.

$nA_n-nA_{n-1}=[nx]$
$(n-1)A_{n-1}-(n-1)A_{n-2}=[(n-1)x]$

$\\ \cdots$

$2A_2-2A_1=[2x],A_1=[x]$

위의 식들을 더하면

$nA_n-(A_1+A_2+ \cdots +A_{n-1})=[x]+[2x]+ \cdots +[nx]$

$nA_n=A_1+A_2+ \cdots +A_{n-1}+[x]+[2x]+ \cdots +[nx]$

$\leq [x]+[2x]+ \cdots +[(n-1)x])+[x]+[2x]+ \cdots +[nx]$

$=([x]+[(n-1)x])+([2x]+[(n-2)x])+ \cdots + ([(n-1)x]+[x])+[nx]$

$\leq [nx]+[nx]+ \cdots +[nx]=n[nx]$

$\therefore A_n \leq [nx]$

2010.08.02

2010.07.20

2010.07.04

2010.07.02

2010.06.26

티스토리툴바