포항공대 기출

일반항에서 점화식으로 가는 연습!

$a_n=\frac{5-\sqrt5}{10}\left(\frac{3-\sqrt5}{2}}\right)^{n-1}+\frac{5+\sqrt5}{10}\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}$

이 모든 자연수 n에 대하여 항상 정수임을 보여라.

$\\ pf) \\ \alpha=\frac{3-\sqrt5}{2}, \beta=\frac{3+\sqrt5}{2}$

라고 하면,

$a_n=\frac{5-\sqrt5}{10}\alpha^{n-1}+\frac{5+\sqrt5}{10}\beta^{n-1}$

$\\ \\ a_{n+1}=\frac{5-\sqrt5}{10}\alpha^n+\frac{5+\sqrt5}{10}\beta^n$ 이다.

$\\ \alpha+\beta=3, \ \alpha\beta=1$ 이므로 위의 식에 3을 곱해서 빼면,

$\\ 3a_n-a_{n+1}=\frac{5-\sqrt5}{10}\alpha^{n-1}\beta+\frac{5+\sqrt5}{10}\beta^{n-1}\alpha \\ =\frac{5-\sqrt5}{10}\alpha^{n-2}+\frac{5+\sqrt5}{10}\beta^{n-2} \\ \\ =a_{n-1}\ (\because \alpha\beta=1)$

$\therefore a_{n+2}-3a_{n+1}+a_n=0$

$\\ \mathbf{i)} \\ n=1, \ a_1=1$

$n=2, \ a_2=2$

$\\ \mathbf{ii)}$

$n=k, k+1 \ (k \in N)$ 일 때 성립하면, $n=k+2$ 일 때도 성립한다.

$a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n$ 이므로

$a_{k+2}=3a_{n+1}-a_n \in Z$ 이다.

따라서 모든 자연수에 대해 $a_n$ 은 항상 정수이다.

수ll에서 응용하면 충분히 풀 수 있는 문제 기분좋은 문제..

모든 실수에 대해서 정의된 미분가능한 함수 $f$ 가 주어졌다.

$\ (a) \ f'(1)=1$ 이고,

$(b)$ 모든 실수 x,y에 대하여 $f(xy)=f(x)f(y)$ 가 성립한다.

함수 $f(x)$ 를 x의 식으로 표현하시오.

$\\ sol) \\$

$\\ f'(x)=\lim_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ =\lim_{h->0}\frac{f \left \{x(1+\frac{h}{x})\right \}-f(x)}{h} \\ =\lim_{h->0}\frac{f(x)f(1+\frac{h}{x})-f(x)f(1)}{h} \\ =\lim_{h->0}\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{f(1+\frac{h}{x})-f(1)}{\frac{h}{x}} \\ =\frac{f(x)}{x} \cdot f'(1) \\ \therefore f'(x)=\frac{1}{x}f(x)$