직관을 따르는 용기

Euler Equation
Mathematics | 2010. 1. 31. 03:54

테일러 급수를 이용한 오일러 등식 유도.

예쁘다.

$\\\\e^{i\pi}+1=0$

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+-\cdots cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+-\cdots$

위에서 보여지듯 삼각함수는 Taylor급수로 표현될 수 있다.

$\\f(z)=e^z$ 라 하자

$f(z)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$

정의역을 확장시키기 위해 $z=yi$ 를 대입한다

$f(yi)=1+\frac{yi}{1!}+\frac{(yi)^2}{2!}+\frac{(yi)^3}{3!}+\frac{(yi)^4}{4!}+\frac{(yi)^5}{5!}+\cdots$

우변을 계산하여 정리하면

$f(yi)= \left (1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\frac{y^6}{6!}+-\cdots \right)+ \left (y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\frac{y^7}{7!}+-\cdots \right)i$

$f(yi)=cosy+i siny$

$e^{yi}=cosy+i siny$

$x$ 가 실수이고 $z=x+yi$ 라고 하면 지수법칙에 의하여

$e^z=e^{x+yi}=e^x(cosy+isiny)$

※참고 오일러 식: $e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$

Euler 등식은 $z= \pi i$ 를 대입하면 얻을 수 있다. 즉 $e^{\pi i}=e^0(cos \pi +isin \pi)=-1$ 이므로

$e^{ \pi i}+1=0$ 을 얻는다.

maria agnesi님 감사해요!

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

정수 문제 하나 (0)	2010.03.13
Torus (0)	2010.02.26
"Am I going to use calculus in real life?" (0)	2010.01.16
프랙탈(Fractal) (0)	2010.01.12
포항공대 기출 (0)	2009.12.26

트랙백 | 댓글

관리자 | 글쓰기

wir mussen wissen, wir werden wissen!

- Lapland


	Category

Jin (47)

220.284 (3)

Mathematics (39)

classic&music (4)


	TAGS

오블완 티스토리챌린지


	Recent Entries


	Recent Comments


	Calendar


	Archive


	Link Site


	Visitor Statistics

Total :
Today :
Yesterday :

티스토리 가입하기!

위치로그 : 태그 : 방명록 : 관리자
Lapland's Blog is powered by Daum / Designed by plyfly.net

내 블로그 - 관리자 홈 전환	`Q` `Q`
새 글 쓰기	`W` `W`

글 수정 (권한 있는 경우)	`E` `E`
댓글 영역으로 이동	`C` `C`

이 페이지의 URL 복사	`S` `S`
맨 위로 이동	`T` `T`
티스토리 홈 이동	`H` `H`
단축키 안내	`Shift` + `/` `⇧` + `/`

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

티스토리툴바

단축키

내 블로그

블로그 게시글

모든 영역