직관을 따르는 용기 | Euler Equation

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Euler Equation
Mathematics | 2010. 1. 31. 03:54

테일러 급수를 이용한 오일러 등식 유도.

예쁘다.

$\\\\e^{i\pi}+1=0$

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+-\cdots cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+-\cdots$

위에서 보여지듯 삼각함수는 Taylor급수로 표현될 수 있다.

$\\f(z)=e^z$ 라 하자

$f(z)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$

정의역을 확장시키기 위해 $z=yi$ 를 대입한다

$f(yi)=1+\frac{yi}{1!}+\frac{(yi)^2}{2!}+\frac{(yi)^3}{3!}+\frac{(yi)^4}{4!}+\frac{(yi)^5}{5!}+\cdots$

우변을 계산하여 정리하면

$f(yi)= \left (1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\frac{y^6}{6!}+-\cdots \right)+ \left (y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\frac{y^7}{7!}+-\cdots \right)i$

$f(yi)=cosy+i siny$

$e^{yi}=cosy+i siny$

$x$ 가 실수이고 $z=x+yi$ 라고 하면 지수법칙에 의하여

$e^z=e^{x+yi}=e^x(cosy+isiny)$

※참고 오일러 식: $e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$

Euler 등식은 $z= \pi i$ 를 대입하면 얻을 수 있다. 즉 $e^{\pi i}=e^0(cos \pi +isin \pi)=-1$ 이므로

$e^{ \pi i}+1=0$ 을 얻는다.

maria agnesi님 감사해요!

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