직관을 따르는 용기 | FLT(case:n=4)

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FLT(case:n=4)
Mathematics | 2010. 5. 23. 03:59

$x^4+y^4=z^4$ 는 자연수 해를 가지지 않는다

$pf)$

자연수 해를 $(x,y,z)=(a,b,c)$ 라고 하자.

$a^4+b^4=c^4$ 를 만족한다.

$m=c^2,n=a^2$ 로 $m,n$ 을 정의하자.

$\\ A=m^2-n^2 \\ B=2mn \\ C=m^2+n^2$

와 같이 $A,B,C$ 를 정의한다.

그렇다면

$A=m^2-n^2$

$=(c^2)^2-(a^2)^2$

$= 2c^2a^2$

$B=2mn$

$=2c^2a^2$

$C=m^2+n^2$

$=(c^2)^2+(a^2)^2$

$=c^4+a^4$

$\therefore (A,B,C)=(c^4-a^4,2c^2a^2,c^4+a^4)$ $(a,b,c \in N)$

$A^2+B^2=(c^4-a^4)^2+(2c^2a^2)^2$

$=(c^8-2c^4a^4+a^8)+(2c^2a^2)^2$

$=(c^8-2c^4a^4+a^8)+4c^4a^4$

$=c^8+2c^4a^4+a^8$

$=C^2$

$\therefore A^2+B^2=C^2$ $(A,B,C \in N)$

즉, $A,B,C$ 는 $C$ 를 빗변으로 하는 직각삼각형의 세 변을 이루는 자연수이다.

그러면 이 직각삼각형의 넓이를 생각해 보자.

$S=\frac{1}{2}AB$

$=\frac{(c^4-a^4)(2c^2a^2)}{2}$

$=(c^4-a^4)c^2a^2$

$=a^2b^4c^2$

$=(ab^2c)^2$

삼각형의 넓이가 제곱수가 되므로 모순이 생긴다.

(세 변이 자연수이고 넓이가 제곱수인 직각삼각형은 존재하지 않는다.)

$\therefore x^4+y^4=z^4$ 를 만족하는 자연수 해는 존재하지 않는다. $Q.E.D$

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