SNU 2010 자연대 기출문제

면접 준비하면서 제일 기분좋게 깔끔했던 문제

a)구간 $[a,b]$ 에서 연속인 함수 $f,g$ 가 다음 부등식을 만족함을 증명하여라.

$( \int_{a}^{b} \left | f(x)g(x) \right |dx)^2 \leq \int_{a}^{b}{f(x)}^2dx \int_{a}^{b}{g(x)}^2dx$

$pf)$ 판별식이나 산술기하 이용

b) $[0,1]->R$ 인 함수 $f$ 가 다음 조건을 만족할 때, 다음 부등식을 만족함을 증명하여라.

< $f, f'$ 는 연속이다. $f(0)=0$ >

$\int_{0}^{1}{f(x)}^2dx \leq \frac{1}{2} \int_{0}^{1} {f'(x)}^2dx$

$pf)$

$f(x)=\int_{0}^{x}f'(t)dt$ 이므로

${f(x)}^2= \left(\int_{0}^{x}f'(t)dt \right)^2 \leq \int_{0}^{x}1dt \int_{0}^{x}{f'(t)}^2dt \leq x\int_{0}^{1}{f'(t)}^2dt$

양변을 적분하면

$\int_{0}^{1}{f(x)}^2 dx\leq \int_{0}^{1} \left(x\int_{0}^{1}{f'(t)}^2dt \right) dx =\frac{1}{2} \int_{0}^{1}{f'(t)}^2 dt$

2010.07.02

2010.06.26

2010.05.27

2010.05.23

2010.05.04

티스토리툴바