inequality problem

양의 실수 a, b, c에 대하여,

$\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c} \geq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

이 성립함을 증명하여라.

$\ sol$

주어진 부등식

$\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c} \geq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

은

$\frac{b+c}{a} \sqrt{(a+b)(a+c)}+\frac{c+a}{b} \sqrt{(b+a)(b+c)} \\ +\frac{a+b}{c} \sqrt{(c+a)(c+b)} \geq 4(a+b+c)$

와 동치이다.

Cauchy-Schwartz 부등식에 의하여,

$\\ \sqrt{(a+b)(a+c)} \geq a+\sqrt{bc} \\ \\ \sqrt{(b+a)(b+c)} \geq b+\sqrt{ac} \\ \\ \sqrt{(c+a)(c+b)} \geq c+\sqrt{ab}$

대입하면

$(b+c)\frac{\sqrt{bc}}{a}+(c+a)\frac{\sqrt{ca}}{b}+(a+b)\frac{\sqrt{ab}}{c} \geq 2(a+b+c)$

일반성을 잃지 않고 $a \geq b \geq c$ 라고 가정한다.

$b+c \leq c+a \leq a+b$ 이고, $\frac{\sqrt{bc}}{a} \leq \frac{\sqrt{ca}}{b} \leq \frac{\sqrt{ab}}{c}$ 이다.

Chebyshev's Inequality, 산술-기하평균에 의해

$(b+c)\frac{\sqrt{bc}}{a}+(c+a)\frac{\sqrt{ca}}{b}+(a+b)\frac{\sqrt{ab}}{c} \geq \frac{(2(a+b+c)) \left(\frac{\sqrt{bc}}{a}+\frac{\sqrt{ca}}{b}+\frac{\sqrt{ab}}{c} \right)}{3} \geq 2(a+b+c)$

등호는 $a=b=c$ 일 때, 성립한다.

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