직관을 따르는 용기

E(X)=np
Mathematics | 2010. 9. 20. 21:25

조합적으로 말고 미분법 써서

확률 변수 X= $0, 1,2, \cdots , r, \cdots , n$ 일 때,

$P(X=r)=\binom{n}{r}p^rq^{n-r}$ 이다.

$pf)$

$E(X)= \sum_{r=0}^{n} r\binom{n}{r} p^n q^{n-r}$

$(px+q)^n=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (px)^r q^{n-r}$

양변을 미분하면

$n(px+q)^{n-1}p= \sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r}r(px)^{r-1}pq^{n-r}$

$= \sum_{r=0}^{n}r \binom{n}{r} x^{r-1}p^r q^{n-r}$

$x=1$ 을 대입하면

$np= \sum_{r=0}^{n}r \binom{n}{r}p^r q^{n-r}=E(X)$ $(\because p+q=1)$

마찬가지로 한 번 더 양변을 미분하면, V(X)=npq도 증명 가능하다.

wir mussen wissen, wir werden wissen!

- Lapland

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