포항공대 기출2

양의 정수 $n$ 의 모든 양의 약수들의 합이 $2n$ 일 때, $n$ 의 모든 양의 약수의 역수들의 합은 얼마인가?

$sol)$

$n$ 의 약수를 나타내면

$1, a, b, c, \cdots , \frac{n}{c}, \frac{n}{b}, \frac{n}{a}, n$ 이라 할 수 있다.

$2n=(1+a+b+c+ \cdots) + n \left(1+ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \cdots \right)$

약수의 역수의 합 $= \left( 1+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \cdots \right) + \frac{1}{n} (1+ a+b+c+ \cdots)$

$= \left(1+\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}+ \cdots \right) + \left [2- \left(1+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \cdots \right) \right]$

$=2$

$cf)$

$n={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}{p_3}^{a_3}{p_4}^{a_4} \ \cdots$ 라 하자.

$2n= \left(1+p_1+{p_1}^2+ \cdots + {p_1}^{a_1} \right) \left(1+p_2+{p_2}^2+\cdots +{p_2}^{a_2} \right) \cdots$

$= \frac{{p_1}^{a_1+1} -1}{p_1-1} \cdot \frac{{p_2}^{a_2+1}-1}{p_2-1} \cdots$

약수의 역수들의 합

$= \left(1+ \frac{1}{p_1}+ \frac{1}{{p_1}^2}+ \cdots + \frac{1}{{p_1}^{a_1}} \right) \left(1+ \frac{1}{p_2}+ \frac{1}{{p_2}^2}+ \cdots + \frac{1}{{p_2}^{a_2}} \right) \cdots$

등비수열의 합 쓰면 이것도 '2'나옴.

아주 formal한 방법. Latex쓰기 귀찮아서=[

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