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미분법에서 중요한 정리들
Mathematics | 2010. 9. 23. 00:07

Rolle의 정리

평균값의 정리

Cauchy 정리

L'Hospital 정리

Rolle의 정리

$y=f(x)$ 는 다음을 만족한다.

$[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분 가능하다.

이 때, $f'(c)=0$ 을 만족하는 $x=c$ 가 $c \in (a,b)$ 에 적어도 하나는 존재한다.

$pf)$

$i) f(x)=k$ 인 경우. $f'(x)=0$ 이므로 참이다.

$ii) f(x) \neq k$ 인 경우. $f(c)$ 는 최댓값 또는 최솟값일 때,

$f'(c)= \lim_{h \to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}$

$= \lim_{h \to 0^+}\frac{f(c+h)-f(c)}{h} \leq 0$

$= \lim_{h \to 0^-} \frac{f(c+h)-f(c)}{h} \geq 0$

함수 $f$ 는 미분 가능 함수이므로 우극한과 좌극한은 같아야 한다.

$\therefore f'(c)=0$

평균값의 정리

$y=f(x)$ 는 다음을 만족한다.

$[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분 가능할 때,

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ 를 만족하는 $x=c$ 는 $c \in (a,b)$ 에 적어도 하나는 존재한다.

$pf)$

$\left(a, f(a) \right), \left(b, f(b) \right)$ 를 지나는 직선을 $g(x)$ 라 하자.

$y=g(x)$ 의 기울기는 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 이다.

그리고 $h(x)=f(x)-g(x)$ 라 할 때,

$y=h(x)$ 는 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분 가능하며 $h(a)=h(b)=0$ 이다.

Rolle의 정리에 의해,

$h'(c)=0$ 을 만족하는 $x=c$ 가 $c \in (a,b)$ 에 적어도 하나는 존재한다.

$h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

$h'(c)=f'(c)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$

$\therefore f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 이다.

Cauchy 정리

$f(x), g(x)$ 는 다음을 만족한다.

$[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 미분가능하다.

$g'(x) \neq 0$ 일 때,

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}= \frac{f'(c)}{g'(c)}$ 를 만족하는 $x=c$ 가 $c \in (a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

$pf)$

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=k$ 라 두자.

$f(b)-f(a)-k \left(g(b)-g(a) \right) =0$

$h(x)=f(x)-f(a)-k \left(g(x)-g(a) \right)$ 라 하면

$h(x)$ 는 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분가능이고 $h(b)=h(a)=0$ 을 만족한다.

따라서 Rolle의 정리에 의해

$h'(x)=0$ 을 만족하는 $x=c$ 가 $c \in (a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

$h'(c)=f'(c)-kg'(c)=0$

$k= \frac{f'(c)}{g'(c)}$

$\therefore \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

L'Hospital 정리

$y=f(x)$ 가 $x=a$ 를 포함한 근처에서 미분가능하고 $f(a)=0, g(a)=0, g'(x) \neq 0$ 일 때,

$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 이다.

$pf)$

$i) x >a$

$\lim_{x \to a^+}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\lim_{x \to a^+} \frac{f'(c)}{g'(c)}$ $(\because Cauchy \ theorem)$

$=\lim_{c \to a} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

$ii) x<a$

$\lim_{x \to a^-} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^-} \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} = \lim_{x \to a^-} \frac{f'(c)}{g'(c)} =\lim_{c \to a} \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

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