직관을 따르는 용기

$f:Q \rightarrow R, f(x+y)=f(x)+f(y)$ 일 때,

$f(x)$ 가 $f(x)=cx$ (c는 상수)의 꼴이라는 것을 증명하여라.

$pf)$

주어진 등식으로부터 $n\in N, x \in Q$ 에 대하여, 다음식이 성립한다는 것을 알 수 있다.

$\\ f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x), \cdots f(nx)=nf(x) \\ f(x)=f \left (m \cdot \frac{x}{m} \right)=\frac{1}{m}f(x)$

$\\ \therefore f \left (\frac{n}{m}x \right)=f \left (n \cdot \frac{x}{m} \right)=nf \left(\frac{x}{m} \right)=\left (\frac{n}{m} \right)f(x) (m \in N)$

또한 $f(0)=f(0)+f(0), f(0)=0$

그리고 $y=-x$ 라고 하면

$\\ f(0)=f(x)+f(-x) \\ \therefore f(-x)=-f(x)$

이로부터 임의의 $\\ r \in Q$ 에 대하여, $\\ f(r)=rf(1)$ 이라는 것을 알 수 있다.

$\\ c=f(1)$ 이라고 하면, $f(x)=cx(x \in Q)$

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