π(pi)값 유도

π(pi)값 유도
Mathematics | 2010. 12. 28. 23:48

우선, arctan의 도함수를 구해보자.

$y= tan^{-1}{x}$ 라 하자.

$tany=x$ 의 양변을 $y$ 로 미분하면

$sec^2{y}=\frac{dx}{dy}$ 가 된다.

$sec^2{y}=1+tan^2{y}=1+x^2= \frac{dx}{dy}$

$\therefore\left( tan^{-1}{x} \right)'=\frac{1}{x^2+1}$

$1-x^2+x^4-x^6+- \cdots =\frac{1}{x^2+1}$

$\int_{0}^{1}(1-x^2+x^4+- \cdots)dx= \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1}dx$

$\left[x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+- \cdots \right]_{0}^{1}= \frac{ \pi}{4}$

$\therefore \pi=4 \left ( 1-\frac{1}{3} +\frac{1}{5} - \frac{1}{7}+- \cdots \right)$

wir mussen wissen, wir werden wissen!

- Lapland

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