젠센 부등식(Jensen's inequality)

볼록 함수의 정의

$(0 \leq t \leq 1)$

$f \left(tx+(1-t)y \right) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$

젠센 부등식

아래로 볼록하면 $i=1,2,3, \cdots , n$ 에 대해

$x_i \in I, w_i \geq 0, w_1+w_2+ \cdot +w_n=1$ 일 때,

$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+ \cdots +w_nf(x_n) \geq f \left(w_1x_1+w_2x_2+ \cdots +w_nx_n \right)$ 이다.

$pf)$

$n=2$ 는 볼록 함수의 정의로부터 성립함을 알 수 있다.

$n=k$ 일 때, 성립한다고 가정하자.

$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+ \cdots+ w_kf(x_k) \geq f \left(w_1x_1+w_2x_2 + \cdots + w_kx_k \right)$

$w_i >0 ( i=1,2,3, \cdots , k+1), w_1+\cdots +w_{k+1}=1$

$s_i=\frac{w_i}{1-w_{k+1}}>0, s_1+\cdots +s_k=1$

$\therefore s_1f(x_1)+\cdots +s_kf(x_k) \geq f(s_1x_1+ \cdots +s_kx_k)$

$w_1f(x_1)+\cdots +w_kf(x_k) \geq (1-w_{k+1})f(\frac{1}{1-w_{k+1}}(w_1x_1+ \cdots +w_kf(x_k))$

$w_1f(x_1)+ \cdots+w_kf(x_k)+w_{k+1}f(x_{k+1}) \geq (1-w_{k+1})f(\frac{1}{1-w_{k+1}}(w_1x_1+ \\ \cdots + w_kx_k))+w_{k+1}f(x_{k+1}), (1-w_{k+1}>0, w_{k+1}>0)$

$\geq f(w_1x_1+ \cdots +w_{k+1}x_{k+1})$

단, 등호는 $x_1=x_2=\cdots=x_n$

'Mathematics' 카테고리의 다른 글

티스토리툴바