성균관대 문제 하나

$p$ 는 1보다 큰 실수이고 $n \geq 2$ 일 때,

$I_p(n)= \frac{1}{2^p}+ \frac{1}{3^p}+ \frac{1}{4^p}+ \cdots + \frac{1}{n^p}$ 라고 정의하자.
※기억에 의존한 문제이므로 확실하지 않음.

$(1) \ I_p(n) \leq \frac{1}{p-1}$ 임을 증명하여라.

$pf)$

$y= \frac{1}{x^p}$ 그래프를 그렸을 때,

$I_p(n)$ 은 밑변의 길이가 1이고 높이가 $n^p$ 인 직사각형 넓이의 합이다.

그 넓이의 합은 $\int_{1}^{n} \frac{1}{x^p} dx$ 보다 작다.

$\int_{1}^{n} \frac{1}{x^p}dx= \frac{1-n^{1-p}}{p-1}< \frac{1}{p-1}$

$\therefore I_p(n) < \frac{1}{p-1}$
(개인적으로 푼건데, 올라오는 길에 급하게 생각한거라 등호는 생각안해봄)

$(2) \ \sum_{k=2}^{\infty}I_k(n) I_{k+1}(n) \leq 1$ 임을 증명하여라.

$pf)$

$I_k(n) \leq \frac{1}{k-1}, \ I_{k+1}(n) \leq \frac{1}{k}$

$I_k(n) I_{k+1}(n) \leq \frac{1}{(k-1)k}$

$\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k-1)k}=1$

$\therefore \sum_{k=2}^{ \infty} I_k(n) I_{k+1}(n) \leq 1$

언니야 기다리는동안 급하게 포스팅.
이것 외에 2, 3번은 평균값 정리. 그냥 산수..
그래서 calculus 책은 들고 왔다. 볼 지는 모르겠지마는!

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