테일러 정리(Taylor Theorem)와 테일러 급수(Taylor Series)

테일러 정리

함수 $f(x)$ 가 어떤 구간 $I$ 에서 $n+1$ 회 미분가능이라 하고, 이 구간에서 $a$ 를 상수, $x$ 를 임의의 수라 할 때, 다음을 만족시키는 $c$ 가 $a$ 와 $x$ 사이에 있다. 즉, $a<c<x$ 이다

$f(x)=f(a)+\frac{{f(a)}'}{1!}(x-a)+\frac{{f(a)}''}{2!}{(x-a)}^2+\cdots+\ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$

특히, $a=0$ 인 경우를 $Maclaurin Theorem$ 이라 한다

$f(x)=f(0)+\frac{{f(0)}'}{1!}x+\frac{{f(0)}''}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)$

여기서 $R_n(x)=\int_{0}^{x}f^{(n+1)}(t)\frac{{(x-t)}^n}{n!}dt$

테일러 급수

테일러 정리에서 

$\lim_{n->\infty}\frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}=0$ 이면 함수 $f(x)$ 는 테일러 급수로 전개된다 하고,

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n$ 로 나타낼 수 있다

맥클로린 급수 또한 $a=0$ 인 경우, 위와 같다

2011.07.20

2011.07.04

2011.03.23

2011.02.22

2010.12.28

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