테일러(Taylor)전개와 관련된 미분 문제

테일러(Taylor)전개와 관련된 미분 문제
Mathematics | 2011. 8. 12. 21:28

함수 $f:R \rightarrow R$ 의 이계도함수 $f''(x)$ 가 구간 [0,1]에서 존재하고 유계이다.
모든 자연수 n에 대하여 $0<a_n<1$ 인 수열 ${a_n}$ 에 대하여 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ 은 발산하지만,

$\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}^2$ 은 수렴한다.
무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty}f(a_n)}$ 이 수렴하면, 무한급수 $\sum_{n=1}^{\infty} \left |f(a_n) \right|$ 도 수렴함을 보여라.
(sum때문에 배열이 이상합니다.)

테일러와 연관이 깊은건 아니지만, 아는게 테일러뿐이라..

우선 문제를 풀기 전

$f(x)$ 가 폐구간 [a,b]에서 연속이고 개구간 (a,b)에서 미분가능할 때, $f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(c)$ 임은 Role, Cauchy theorem 으로 알수 있다.

마찬가지로
$f(b)=f(a)+(b-a)f'(a)+\frac{(b-a)^2}{2!}f''(a)+\frac{(b-a)^3}{3!}f'''(c)$ 이다.

$pf)$

$\sum |a_n| \leq M$

$0 \leq |a_n|+a_n \leq 2|a_n|$

$\therefore \sum(|a_n|+a_n) \leq 2 \sum|a_n| \leq 2M$

$1) \sum{a_n}^2$ converges

$\lim_{n \to \infty}{a_n}^2=0, \lim_{n \to \infty}a_n=0$

$\sum f(a_n)$ converges

$\lim_{n \to \infty}f(a_n)=0$

$\therefore f(0)=0$

$2) f(a_n)=f(0)+a_nf'(0)+\frac{{a_n}^2}{2!}f''(c_n)=a_nf'(0)+\frac{{a_n}^2}{2!}f''(c_n)$

$3) \sum^{\infty}|{a_n}^2f''(c_n)|=\sum^{\infty}{a_n}^2|f''(c_n)| \leq M \sum^{\infty}{a_n}^2$

$\therefore \sum^{\infty}{a_n}^2f''(c_n)$ 수렴

$2') f'(0)\sum a_n = \sum f(a_n)-\frac{{a_n}^2}{2!}\sumf''(c_n)$ 인데, 좌변에서

$\sum a_n$ 이 발산이고 우변이 수렴하기 때문에

$\therefore f'(0)=0$

$\therefore f(a_n)=\frac{{a_n}^2}{2!}f''(c_n)$

$\sum |f(a_n)|= \sum|\frac{{a_n}^2}{2!}f''(a_n)| (\because 4)$

$\therefore \sum_{n=1}^{\infty}|f(a_n)|$ 은 수렴한다.

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