직관을 따르는 용기

Euler Equation
Mathematics | 2010. 1. 31. 03:54

테일러 급수를 이용한 오일러 등식 유도.

예쁘다.

$\\\\e^{i\pi}+1=0$

$sinx=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+-\cdots cosx=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{x^8}{8!}-\frac{x^{10}}{10!}+-\cdots$

위에서 보여지듯 삼각함수는 Taylor급수로 표현될 수 있다.

$\\f(z)=e^z$ 라 하자

$f(z)=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots$

정의역을 확장시키기 위해 $z=yi$ 를 대입한다

$f(yi)=1+\frac{yi}{1!}+\frac{(yi)^2}{2!}+\frac{(yi)^3}{3!}+\frac{(yi)^4}{4!}+\frac{(yi)^5}{5!}+\cdots$

우변을 계산하여 정리하면

$f(yi)= \left (1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\frac{y^6}{6!}+-\cdots \right)+ \left (y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\frac{y^7}{7!}+-\cdots \right)i$

$f(yi)=cosy+i siny$

$e^{yi}=cosy+i siny$

$x$ 가 실수이고 $z=x+yi$ 라고 하면 지수법칙에 의하여

$e^z=e^{x+yi}=e^x(cosy+isiny)$

※참고 오일러 식: $e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$

Euler 등식은 $z= \pi i$ 를 대입하면 얻을 수 있다. 즉 $e^{\pi i}=e^0(cos \pi +isin \pi)=-1$ 이므로

$e^{ \pi i}+1=0$ 을 얻는다.

maria agnesi님 감사해요!

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"Am I going to use calculus in real life?"
Mathematics | 2010. 1. 16. 19:23

통계는 아직 매력을 못느낀(...)

뭔가 수학답지 않다.

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프랙탈(Fractal)
Mathematics | 2010. 1. 12. 12:54

프랙탈(fractal) 곡선은 반복적으로 자기유사성을 형성하는 기하학적 형태를 일컫는다.

유클리드 공간에서 $D$ 차원 도형을 각 차원에 대해 $l$ 등분하면, 각변의 길이가 $\epsilon(=1/l)$ 인 동일한

도형 $N$ 개로 나뉘며, 이때 $N=N(l)=l^D$ 또는 $N=N( \epsilon)=(1/ \epsilon)^D$ 로 표현된다.

이를 바꾸어 생각하면, 균일하게 분할된

$D$ 차원 도형에 대해

$d=\frac{logN(l)}{logl}=\frac{logN( \epsilon)}{log( 1/ \epsilon)}$ 임을 알 수 있다.

자연수를 포함한 실수 영역으로 차원 $D$ 를 확장하면

$D=\lim_{\epsilon->0} \frac{logN(\epsilon)}{log(1/ \epsilon)}=\lim_{l-> \infty} \frac{logN(l)}{log(l)}$ 와 같이 정의할 수 있다.

코흐 곡선, 프랙탈 도형의 사례이다. <출처:Fibonacci at wikipedia>

시어핀스키 삼각형

칸토어 집합

프랙탈차원

네이버 캐스트에 올라와 있었다. 참고

http://exoteric.roach.org/bg/bgal31.html

예쁜 프랙탈 사진들이 많다

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포항공대 기출
Mathematics | 2009. 12. 26. 23:59

일반항에서 점화식으로 가는 연습!

$a_n=\frac{5-\sqrt5}{10}\left(\frac{3-\sqrt5}{2}}\right)^{n-1}+\frac{5+\sqrt5}{10}\left(\frac{3+\sqrt5}{2}\right)^{n-1}$

이 모든 자연수 n에 대하여 항상 정수임을 보여라.

$\\ pf) \\ \alpha=\frac{3-\sqrt5}{2}, \beta=\frac{3+\sqrt5}{2}$

라고 하면,

$a_n=\frac{5-\sqrt5}{10}\alpha^{n-1}+\frac{5+\sqrt5}{10}\beta^{n-1}$

$\\ \\ a_{n+1}=\frac{5-\sqrt5}{10}\alpha^n+\frac{5+\sqrt5}{10}\beta^n$ 이다.

$\\ \alpha+\beta=3, \ \alpha\beta=1$ 이므로 위의 식에 3을 곱해서 빼면,

$\\ 3a_n-a_{n+1}=\frac{5-\sqrt5}{10}\alpha^{n-1}\beta+\frac{5+\sqrt5}{10}\beta^{n-1}\alpha \\ =\frac{5-\sqrt5}{10}\alpha^{n-2}+\frac{5+\sqrt5}{10}\beta^{n-2} \\ \\ =a_{n-1}\ (\because \alpha\beta=1)$

$\therefore a_{n+2}-3a_{n+1}+a_n=0$

$\\ \mathbf{i)} \\ n=1, \ a_1=1$

$n=2, \ a_2=2$

$\\ \mathbf{ii)}$

$n=k, k+1 \ (k \in N)$ 일 때 성립하면, $n=k+2$ 일 때도 성립한다.

$a_{n+2}=3a_{n+1}-a_n$ 이므로

$a_{k+2}=3a_{n+1}-a_n \in Z$ 이다.

따라서 모든 자연수에 대해 $a_n$ 은 항상 정수이다.

수ll에서 응용하면 충분히 풀 수 있는 문제 기분좋은 문제..

모든 실수에 대해서 정의된 미분가능한 함수 $f$ 가 주어졌다.

$\ (a) \ f'(1)=1$ 이고,

$(b)$ 모든 실수 x,y에 대하여 $f(xy)=f(x)f(y)$ 가 성립한다.

함수 $f(x)$ 를 x의 식으로 표현하시오.

$\\ sol) \\$

$\\ f'(x)=\lim_{h->0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ =\lim_{h->0}\frac{f \left \{x(1+\frac{h}{x})\right \}-f(x)}{h} \\ =\lim_{h->0}\frac{f(x)f(1+\frac{h}{x})-f(x)f(1)}{h} \\ =\lim_{h->0}\frac{f(x)}{x}\cdot \frac{f(1+\frac{h}{x})-f(1)}{\frac{h}{x}} \\ =\frac{f(x)}{x} \cdot f'(1) \\ \therefore f'(x)=\frac{1}{x}f(x)$

$\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx= \int \frac{1}{x}dx$

$ln \mid f(x) \mid =ln \mid x \mid +C$

$\mid f(x) \mid=\mid x \mid \ (\because f(1)=1)$

$\\ \\ f(1)=1$ 이어야하므로

$\therefore f(x)=x$

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