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카발리에리의 원리(cavalieri's principle)
Mathematics | 2010. 4. 10. 02:12

두 입체도형을 일정한 평면에 평행한 평면으로 잘랐을 때, 두 단면의 면적의 비가 언제나 m:n이면 두 입체도형의 부피 비는 m:n이다.

만약, 두 입체를 일정 방향으로 평행한 평면으로 절단했을 때, 그 단면의 넓이가 항상 같다면 두 입체의 부피는 같다.

$pf)$

일정한 평면에 수직한 한 직선을 $x$ 축이라 한다.

또, 일정한 평면에 평행이면서 입체를 끼고 있는 두 평면이 $x$ 축과 만나는 점의 좌표를 각각 $a,b(a<b)$ 라 한다.

$x$ 축 상의 좌표가 $x$ 인 점을 지나 $x$ 축에 수직인 평면이 두 입체를 자른 단면의 넓이를 각각 $S(x),T(x)$ 라고 하면

$S(x):T(x)=m:n$

즉, $nS(x)=mT(x)$ 이다.

$\therefore n\int_{a}^{b}S(x)dx=m\int_{a}^{b}T(x)dx$

즉, $\int_{a}^{b}S(x)dx: \int_{a}^{b}T(x)dx=m:n$

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정수 문제 하나
Mathematics | 2010. 3. 13. 03:02

Q) $n$ 이 자연수일 때, $2^n-1$ 이 소수이면, $n$ 도 소수임을 증명하라.

sol

$2^n-1$ 이 소수이면 $n$ 도 소수이지만, 소수란 1과 그 자신이외에 약수를 갖지 않는 정수이므로,

$2^n-1=(2-1)(2^{n-1}+2^{n-2}+ \cdots +1)$ 에 의하여

$2^2-1=(2-1)(2+1)$ -소수

$2^3-1=(2-1)(2^2+2+1)$ -소수

$2^4-1=(2^2-1)(2^2+1)$ -소수가 아니다.

$n$ 에 구체적인 값을 대입한 결과, 위의 경우 $n$ 이 소수가 아니면 $2^n-1$ 도 소수가 아닌 것을 잠정적으로 알 수 있다.

여기서 대우를 증명해보자.

$n$ 이 소수가 아니면, $2^n-1$ 도 소수가 아님을 증명한다.

$n=pq$ (p,q는 모두 1이 아닌 자연수)라 하면,

$2^n-1=2^{pq}-1=(2^p)^q-1$

$=(2^p-1)(2^{p(q-1)}+2^{p(q-2)}+ \cdots +2^p+1)$

p,q는 1이 아닌 자연수이므로

$2^p-1,2^{p(q-1)}+2^{p(q-2)}+\cdots+2^p+1$ 은 자연수이고

특히, $1<2^p-1<2^n-1$

따라서 $2^n-1$ 은 1과 그 자신 이외의 약수를 가지므로 소수가 아니다.

본 명제의 대우가 참임이 증명되었으므로, 본 명제도 참임이 증명되었다.

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Torus
Mathematics | 2010. 2. 26. 20:07

http://en.wikipedia.org/wiki/Torus

수II '적분' 단원에서 나오는 토러스의 성질

수정 중

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