직관을 따르는 용기

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inequality problem
Mathematics | 2010. 5. 27. 03:27

양의 실수 a, b, c에 대하여,

$\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c} \geq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

이 성립함을 증명하여라.

$\ sol$

주어진 부등식

$\frac{\sqrt{b+c}}{a}+\frac{\sqrt{c+a}}{b}+\frac{\sqrt{a+b}}{c} \geq \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}}$

은

$\frac{b+c}{a} \sqrt{(a+b)(a+c)}+\frac{c+a}{b} \sqrt{(b+a)(b+c)} \\ +\frac{a+b}{c} \sqrt{(c+a)(c+b)} \geq 4(a+b+c)$

와 동치이다.

Cauchy-Schwartz 부등식에 의하여,

$\\ \sqrt{(a+b)(a+c)} \geq a+\sqrt{bc} \\ \\ \sqrt{(b+a)(b+c)} \geq b+\sqrt{ac} \\ \\ \sqrt{(c+a)(c+b)} \geq c+\sqrt{ab}$

대입하면

$(b+c)\frac{\sqrt{bc}}{a}+(c+a)\frac{\sqrt{ca}}{b}+(a+b)\frac{\sqrt{ab}}{c} \geq 2(a+b+c)$

일반성을 잃지 않고 $a \geq b \geq c$ 라고 가정한다.

$b+c \leq c+a \leq a+b$ 이고, $\frac{\sqrt{bc}}{a} \leq \frac{\sqrt{ca}}{b} \leq \frac{\sqrt{ab}}{c}$ 이다.

Chebyshev's Inequality, 산술-기하평균에 의해

$(b+c)\frac{\sqrt{bc}}{a}+(c+a)\frac{\sqrt{ca}}{b}+(a+b)\frac{\sqrt{ab}}{c} \geq \frac{(2(a+b+c)) \left(\frac{\sqrt{bc}}{a}+\frac{\sqrt{ca}}{b}+\frac{\sqrt{ab}}{c} \right)}{3} \geq 2(a+b+c)$

등호는 $a=b=c$ 일 때, 성립한다.

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FLT(case:n=4)
Mathematics | 2010. 5. 23. 03:59

$x^4+y^4=z^4$ 는 자연수 해를 가지지 않는다

$pf)$

자연수 해를 $(x,y,z)=(a,b,c)$ 라고 하자.

$a^4+b^4=c^4$ 를 만족한다.

$m=c^2,n=a^2$ 로 $m,n$ 을 정의하자.

$\\ A=m^2-n^2 \\ B=2mn \\ C=m^2+n^2$

와 같이 $A,B,C$ 를 정의한다.

그렇다면

$A=m^2-n^2$

$=(c^2)^2-(a^2)^2$

$= 2c^2a^2$

$B=2mn$

$=2c^2a^2$

$C=m^2+n^2$

$=(c^2)^2+(a^2)^2$

$=c^4+a^4$

$\therefore (A,B,C)=(c^4-a^4,2c^2a^2,c^4+a^4)$ $(a,b,c \in N)$

$A^2+B^2=(c^4-a^4)^2+(2c^2a^2)^2$

$=(c^8-2c^4a^4+a^8)+(2c^2a^2)^2$

$=(c^8-2c^4a^4+a^8)+4c^4a^4$

$=c^8+2c^4a^4+a^8$

$=C^2$

$\therefore A^2+B^2=C^2$ $(A,B,C \in N)$

즉, $A,B,C$ 는 $C$ 를 빗변으로 하는 직각삼각형의 세 변을 이루는 자연수이다.

그러면 이 직각삼각형의 넓이를 생각해 보자.

$S=\frac{1}{2}AB$

$=\frac{(c^4-a^4)(2c^2a^2)}{2}$

$=(c^4-a^4)c^2a^2$

$=a^2b^4c^2$

$=(ab^2c)^2$

삼각형의 넓이가 제곱수가 되므로 모순이 생긴다.

(세 변이 자연수이고 넓이가 제곱수인 직각삼각형은 존재하지 않는다.)

$\therefore x^4+y^4=z^4$ 를 만족하는 자연수 해는 존재하지 않는다. $Q.E.D$

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Nature by Numbers
Mathematics | 2010. 5. 4. 23:59

Nature by Numbers from Cristóbal Vila on Vimeo.

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Primes
Mathematics | 2010. 5. 2. 19:45

2년 전부터 멍때리고 싶을 때 하던 뻘짓(...)

몇 년을 더 해야 보일까?

규칙은 있는데 규칙의 갯수가 규칙적이지 않다.

육각형은 왜 했지?ㅋㅋ

The first 10000 - The Prime Pages

'소수의 수열이 임의로 긴 등차수열을 포함하고 있다'

http://en.wikipedia.org/wiki/Green%E2%80%93Tao_theorem

드라마에서 Ergodic Ramsey Theory를 들은 적이 있는 듯 하여 찾아보았다.

http://en.wikipedia.org/wiki/Ergodic_Ramsey_theory

모르겠다(...)

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