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2010.09.15 포항공대 기출2
2010.09.09 군.환.체의 정의(공리) 3
2010.09.06 0으로 나눌 수 없는 이유
2010.09.05 작년 겨울 1

포항공대 기출2
Mathematics | 2010. 9. 15. 23:54

양의 정수 $n$ 의 모든 양의 약수들의 합이 $2n$ 일 때, $n$ 의 모든 양의 약수의 역수들의 합은 얼마인가?

$sol)$

$n$ 의 약수를 나타내면

$1, a, b, c, \cdots , \frac{n}{c}, \frac{n}{b}, \frac{n}{a}, n$ 이라 할 수 있다.

$2n=(1+a+b+c+ \cdots) + n \left(1+ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \cdots \right)$

약수의 역수의 합 $= \left( 1+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \cdots \right) + \frac{1}{n} (1+ a+b+c+ \cdots)$

$= \left(1+\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}+ \cdots \right) + \left [2- \left(1+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \cdots \right) \right]$

$=2$

$cf)$

$n={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}{p_3}^{a_3}{p_4}^{a_4} \ \cdots$ 라 하자.

$2n= \left(1+p_1+{p_1}^2+ \cdots + {p_1}^{a_1} \right) \left(1+p_2+{p_2}^2+\cdots +{p_2}^{a_2} \right) \cdots$

$= \frac{{p_1}^{a_1+1} -1}{p_1-1} \cdot \frac{{p_2}^{a_2+1}-1}{p_2-1} \cdots$

약수의 역수들의 합

$= \left(1+ \frac{1}{p_1}+ \frac{1}{{p_1}^2}+ \cdots + \frac{1}{{p_1}^{a_1}} \right) \left(1+ \frac{1}{p_2}+ \frac{1}{{p_2}^2}+ \cdots + \frac{1}{{p_2}^{a_2}} \right) \cdots$

등비수열의 합 쓰면 이것도 '2'나옴.

아주 formal한 방법. Latex쓰기 귀찮아서=[

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군.환.체의 정의(공리)
Mathematics | 2010. 9. 9. 00:32

군(群)의 정의

다음의 공리를 만족하는 집합 G를 '군'이라고 부른다.

연산 ★에 대해 닫혀 있다.
임의의 원(元)에 대해 결합법칙이 성립한다.
항등원이 존재한다.
임의의 원에 대해 그 원에 대한 역원이 존재한다.

*아벨군의 정의에서는 '임의의 원에 대해 교환법칙이 성립한다'를 추가하면 됨

환(環)의 정의

다음의 공리를 만족하는 집합을 '환(環)'이라고 부른다.

-연산 ＋(덧셈)에 대해

닫혀 있다.
항등원이 존재한다.('0'이라고 부른다.)
모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 역원이 존재한다.

-연산 ×(곱셈)에 대해

닫혀 있다.
항등원이 존재한다.('1'이라고 부른다.)
모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.

-연산 ＋와 ×에 대해

모든 요소에 대해 분배법칙이 성립한다.

체(體)의 정의

다음의 공리를 만족하는 집합을 '체(體)'라고 부른다.

-연산 ＋(덧셈)에 대해

닫혀 있다.
항등원이 존재한다.('0'이라고 부른다.)
모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 역원이 존재한다.

-연산 ×(곱셈)에 대해

닫혀 있다.
항등원이 존재한다.('1'이라고 부른다.)
모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.
0 이외의 모든 요소에 대해 역원이 존재한다.

-연산 ＋와 ×에 대해

모든 요소에 대해 분배법칙이 성립한다.

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0으로 나눌 수 없는 이유
Mathematics | 2010. 9. 6. 00:47

매우 간단. 그냥 너무 익숙하다보니 사칙연산 덧셈 뺄셈 곱셈 나눗셈을 분리해서 생각하기 쉽상.
대학교가면 좀 더 깊게 배우겠지만, 일단 초등적(?)으로 생각하자면
곱셈은 덧셈으로부터, 나눗셈은 뺄셈으로부터..! 캬
어떤 임의의 수에서 0을 몇 번을 빼야 임의의 다른 수가 나올 수 있을까?
또한, 나눗셈과 곱셈을 연관시켜 생각하면
임의의수 n이 되기 위해서 0을 몇 번 더해야 할까?

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작년 겨울
Mathematics | 2010. 9. 5. 01:01

풀었던 것

책 구석에 적혀있던 것

$\\ \sum_{k=1}^{n}(k^2+1)k!=n(n+1)!$

$\\ pf)$

$1) n=1$ 일 때, $\\ (1^2+1)1!=2=1(1+1)!=2$

$\\ 2) n=p$ 일 때 성립한다고 가정하자.

$\\ n=p+1$ 을 살펴보자.

$\\ \sum_{k=1}^{p+1}(k^2+1)k!=\sum_{k=1}^{p}(k^2+1)k!+[(p+1)^2+1](p+1)!$

$= p(p+1)!+(p^2+2p+2)(p+1)!$

$= (p+1)!(p^2+3p+2)$

$=(p+1)(p+2)!$

n=p+1 일 때도 성립하므로 위의 준식은 모든 자연수에 대해 성립한다.

처음엔 좌변만 주어져서 일일이 대입하다 규칙을 발견한건데,

귀납적으로 말고 바로 끌어낼 수 있는 법을 생각해봐야겠다.

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