Carrot이 학교 행사로 무지 바쁠 때 내준 문제. 늦게 풀어 미안함.
문제를 살펴 보자.
At what point on the ground does a perpendicularly suspended rod appear largest?
어느 지점에서 수직으로 매달린 막대기가 가장 크게 보이겠는가?
풀고보니(대수로) 유명한 레기오몬타누스의 최대각 문제
P점을 시점으로 잡고 PB와 지면이 이루는 각을 
라 하고 PA와 지면이 이루는 각을 
라 하자.
그렇다면 시야각 
가 된다.
그리고 막대기에서 수직으로 내린 점과 P점 사이의 거리를 X라 하자.
이때, 
가 된다.
앞의 것을 대입하면 }=\frac{\frac{b}{x}-\frac{a}{x}}{1+\frac{b}{x}\frac{a}{x}}=(b-a)\frac{x}{x^2+ab})
시야각의 최대값을 찾기 위해 미분을 해보자.
\frac{x}{x^2+ab} \right)=(b-a)\frac{ab-x^2}{(x^2+ab)^2})
(단, x는 거리이므로 
)
극대, 극소를 따지면 
에서 극댓값을 갖는다.
따라서
지점에서 막대기가 가장 크게 보인다.
cf) 굳이 미분하지 않고 분자, 분모를 뒤집어 산술기하를 써서 최솟값을 찾아도 가능.
A,B,P를 지나는 원을 그린다.
)
임을 알 수 있다.
즉 
라는 말이다.
다시 말해, 원 바깥의 수평선 상에 어떤 점을 잡아도 원과 접한 부분의 각보다 크지 않다는 것이다.
그림에서 ^2=OA \cdot OB)
이므로 
에서 최대가 된다.
그림 출처 wikidot
