직관을 따르는 용기

secθ의 부정적분
Mathematics | 2010. 8. 7. 01:13

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problem4
Mathematics | 2010. 8. 2. 00:06

실수 수열 $a_1,a_2,a_3, \cdots , a_j$ 가 $a_{i+j} \leq a_i+a_j$ 을 만족할 때,

$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_n}{n} \geq a_n$ 이 성립함을 보여라.

$pf)$

$i)$ $n=1$ 일 때, $a_1 \geq a_1$ (참)

$ii) n=1,2,3, \cdots , k$ 일 때 참이라 가정하자.

$a_1 \geq a_1$

$a_1+ \frac{a_2}{2} \geq a_2$

$a_1+ \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} \geq a_3$

$\cdots$

$a_1+ \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3}+ \frac{a_4}{4}+ \cdots + \frac{a_k}{k} \geq a_k$

모든 항을 더한다.

$ka_1+(k-1)\frac{a_2}{2}+(k-2)\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k} \geq a_1+a_2+a_3+ \cdots + a_k$

$(k+1) \left (a_1+ \frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k} \right) \geq 2(a_1+a_2+a_3 + \cdots + a_k)$

$=(a_1+a_k)+(a_2+a_{k-1})+(a_3+a_{k-2})+ \cdots +(a_k+a_1)$

$\geq ka_{k+1}$

$a_{k+1}$ 을 더하면,

$(k+1) \left(a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k}+ \frac{a_{k+1}}{k+1} \right) \geq (k+1)a_{k+1}$

$\therefore a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k}+ \frac{a_{k+1}}{k+1} \geq a_{k+1}$

$n=k+1$ 인 경우에도 성립한다.

$\therefore a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots +\frac{a_n}{n} \geq a_n$

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뷔퐁의 바늘 문제(Buffon's needle problem)
Mathematics | 2010. 7. 20. 02:53

(출처:구글링)

*그림 상관없음

$Q$ . 평면에 간격이 $a$ 인 평행선이 무수히 많이 그어져 있다. 여기에 길이가 $l$ 인 바늘을 던질 때, 바늘이 이 직선에 걸칠 확률을 구한다.(단, $a>l$ )

$A$ : 바늘을 던지는 시행

$U$ : $A$ 가운데 바늘이 평행선과 교차하는 경우

$x$ : 던져진 바늘의 중심에서 가장 가까운 평행선에 이르는 거리

$\varphi$ : 바늘과 평행선이 이루는 각

이 때, $( \varphi, x)$ 는 $A$ 로 생기는 모든 결과와 완전히 일대일 대응이다.

즉, 1회의 $A$ 에 의해 생기는 결과 한가지와 그에 상응하는 순서쌍 $( \varphi, x)$ 는 바늘을 던지는 시행을 완전히 나타낼 수 있다. 이 때, $x$ 를 바늘의 '위치', $\varphi$ 를 바늘의 '방향'이라고 한다.

구하고자 하는 확률 $P$ 를 구하자.

$P=$ (평행선과 바늘이 교차하게되는 결과의 가지 수)/(바늘을 던져서 생기는 모든 결과의 가지수)
$=$ (U와 대응하는 $(\varphi, x)$ 의 개수)/(모든 A와 대응하는 $(\varphi,x)$ 의 개수)
$=$ (U와 대응하는 $\varphi, x$ 평면 위의 점 $(\varphi,x)$ 로 이루어 지는 넓이)/(모든 A와 대응하는 $\varphi,x$ 평면 위의 점 $(\varphi,x)$ 로 이루어지는 넓이)
$0 \leq x \leq \frac{a}{2}, 0 \leq \varphi \leq 2\pi$

바늘이 한직선과 만날 필요충분 조건은 $x \leq \frac{l}{2}sin\varphi$ 이다

아래의 그림은 $\varphi - x$ 직교 좌표평면상에 위의 경우를 그림으로 나타낸 것이다.

$y$ 절편: $\frac{a}{2}$ $x$ 절편: $\pi$ 곡선의 방정식: $x=\frac{l}{2}sin\varphi$

전체 시행의 결과를 직사각형으로 볼 수 있고 던져진 바늘이 한 직선과 만나는 사건은 점 $(\varphi,x)$ 가 곡선의 내부에 있는 것으로 볼 수 있다.

그러므로 구하고자 하는 확률은 '직사각형 넓이에 대한 곡선 넓이의 비'라 할 수 있다.

$\therefore P=\frac{\int_{0}^{\pi}\frac{l}{2}sin\varphi d\varphi}{\frac{\pi a}{2}}=\frac{-\frac{l}{2}(cos\varphi-cos0)}{\frac{\pi a}{2}}=\frac{-\frac{l}{2}(-1-1)}{\frac{\pi a}{2}}=\frac{2l}{\pi a}$

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problem3
Mathematics | 2010. 7. 10. 22:54

$x$ 가 실수이고 $n$ 이 자연수일 때, 다음을 증명하여라.

$[nx] \geq \frac{[x]}{1}+\frac{[2x]}{2}+ \cdots +\frac{[nx]}{n}$

$pf)$

먼저 $n=1$ 일 때, $[x]=[x] \cdots (1)$

$A_k=\frac{[x]}{1}+\frac{[2x]}{2}+ \cdots +\frac{[kx]}{k}$

$A_1 \leq [x],A_2 \leq [2x], \cdots , A_{n-1} \leq [(n-1)x]$ 라고 하자.

그렇다면 n일 때에도 (1)이 성립한다는 것을 증명하겠다.

$nA_n-nA_{n-1}=[nx]$
$(n-1)A_{n-1}-(n-1)A_{n-2}=[(n-1)x]$

$\\ \cdots$

$2A_2-2A_1=[2x],A_1=[x]$

위의 식들을 더하면

$nA_n-(A_1+A_2+ \cdots +A_{n-1})=[x]+[2x]+ \cdots +[nx]$

$nA_n=A_1+A_2+ \cdots +A_{n-1}+[x]+[2x]+ \cdots +[nx]$

$\leq [x]+[2x]+ \cdots +[(n-1)x])+[x]+[2x]+ \cdots +[nx]$

$=([x]+[(n-1)x])+([2x]+[(n-2)x])+ \cdots + ([(n-1)x]+[x])+[nx]$

$\leq [nx]+[nx]+ \cdots +[nx]=n[nx]$

$\therefore A_n \leq [nx]$

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