직관을 따르는 용기

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problem5
Mathematics | 2010. 8. 28. 22:25

$\\ w!=x!+y!+z!$ 의 모든 양의 정수해를 구하여라.

$\\ sol)$

x,y,z는 대칭이므로

$x \leq y \leq z$ 라고 할 수 있다.

그러면 $w \geq z+1$

$(z+1)! \leq w!=x!+y!+z! \leq 3z!$

$z+1 \leq 3, x \leq y \leq z \leq 2$

경우를 나누어 생각하자.

$1)z=y=x=2$ 일 때, $w=3$

$2)z=y=2,x=1$ 일 때, $w$ 는 해를 가지지 않는다.

$3)z=2,y=x=1$ 일 때, $w$ 는 해를 가지지 않는다.

$4)z=y=x=1$ 일 때, $w$ 는 해를 가지지 않는다.

$\therefore x=y=z=2,w=3$ 인 양의 정수해를 가진다.

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Elementary Number Theory
Mathematics | 2010. 8. 7. 01:58

Elementary Number Theory-David M. Burton 드디어 샀다

설레서 다른 공부 못 할 것 같다

어쩌면 하디를 보고 설레는 것일수도^^

+) stewart - calculus 언제 보지?

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Mathematics | 2010. 8. 7. 01:13

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problem4
Mathematics | 2010. 8. 2. 00:06

실수 수열 $a_1,a_2,a_3, \cdots , a_j$ 가 $a_{i+j} \leq a_i+a_j$ 을 만족할 때,

$a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_n}{n} \geq a_n$ 이 성립함을 보여라.

$pf)$

$i)$ $n=1$ 일 때, $a_1 \geq a_1$ (참)

$ii) n=1,2,3, \cdots , k$ 일 때 참이라 가정하자.

$a_1 \geq a_1$

$a_1+ \frac{a_2}{2} \geq a_2$

$a_1+ \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3} \geq a_3$

$\cdots$

$a_1+ \frac{a_2}{2} + \frac{a_3}{3}+ \frac{a_4}{4}+ \cdots + \frac{a_k}{k} \geq a_k$

모든 항을 더한다.

$ka_1+(k-1)\frac{a_2}{2}+(k-2)\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k} \geq a_1+a_2+a_3+ \cdots + a_k$

$(k+1) \left (a_1+ \frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k} \right) \geq 2(a_1+a_2+a_3 + \cdots + a_k)$

$=(a_1+a_k)+(a_2+a_{k-1})+(a_3+a_{k-2})+ \cdots +(a_k+a_1)$

$\geq ka_{k+1}$

$a_{k+1}$ 을 더하면,

$(k+1) \left(a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k}+ \frac{a_{k+1}}{k+1} \right) \geq (k+1)a_{k+1}$

$\therefore a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots + \frac{a_k}{k}+ \frac{a_{k+1}}{k+1} \geq a_{k+1}$

$n=k+1$ 인 경우에도 성립한다.

$\therefore a_1+\frac{a_2}{2}+\frac{a_3}{3}+ \cdots +\frac{a_n}{n} \geq a_n$

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