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파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)
Mathematics | 2010. 9. 21. 00:44

오랫만에 확률 통계 본 김에..!

$\binom{n}{r}= \binom{n-1}{r-1} + \binom{n-1}{r}$

물론 조합의 정의를 이용해서 증명할 수 있지만

이 등식이 뜻하는 것을 생각해보겠다.

$a_1, a_2, a_3, \cdots , a_n$ 이라는 n개의 원소가 있다.

좌변은 n개 중, r개를 뽑는 경우를 뜻한다.

n개 중 r개를 뽑는 경우는

특정한 원소(예를 들어 $a_1$ )가 들어가는 경우

특정한 원소가 들어가지 않는 경우

로 생각할 수 있다.

$a_1$ 이 반드시 포함될 경우=나머지 $n-1$ 개 중, $r-1$ 개를 뽑아야하므로

$\binom{n-1}{r-1}$

$a_1$ 이 포함되지 않는 경우=나머지 $n-1$ 개 중, $r$ 개를 뽑아야하므로

$\binom{n-1}{r}$

두 개일 경우, $a_1, a_2$ 를 생각하고 나머지 경우도 동일하게 생각하면 된다.

(처음 생각했을 땐 무지 신기했었는데, 막상 포스팅하고 나니 뭔가 허접하다:-P)

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E(X)=np
Mathematics | 2010. 9. 20. 21:25

조합적으로 말고 미분법 써서

확률 변수 X= $0, 1,2, \cdots , r, \cdots , n$ 일 때,

$P(X=r)=\binom{n}{r}p^rq^{n-r}$ 이다.

$pf)$

$E(X)= \sum_{r=0}^{n} r\binom{n}{r} p^n q^{n-r}$

$(px+q)^n=\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (px)^r q^{n-r}$

양변을 미분하면

$n(px+q)^{n-1}p= \sum_{r=1}^{n} \binom{n}{r}r(px)^{r-1}pq^{n-r}$

$= \sum_{r=0}^{n}r \binom{n}{r} x^{r-1}p^r q^{n-r}$

$x=1$ 을 대입하면

$np= \sum_{r=0}^{n}r \binom{n}{r}p^r q^{n-r}=E(X)$ $(\because p+q=1)$

마찬가지로 한 번 더 양변을 미분하면, V(X)=npq도 증명 가능하다.

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포항공대 기출2
Mathematics | 2010. 9. 15. 23:54

양의 정수 $n$ 의 모든 양의 약수들의 합이 $2n$ 일 때, $n$ 의 모든 양의 약수의 역수들의 합은 얼마인가?

$sol)$

$n$ 의 약수를 나타내면

$1, a, b, c, \cdots , \frac{n}{c}, \frac{n}{b}, \frac{n}{a}, n$ 이라 할 수 있다.

$2n=(1+a+b+c+ \cdots) + n \left(1+ \frac{1}{a}+\frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \cdots \right)$

약수의 역수의 합 $= \left( 1+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \cdots \right) + \frac{1}{n} (1+ a+b+c+ \cdots)$

$= \left(1+\frac{1}{a} + \frac{1}{b} +\frac{1}{c}+ \cdots \right) + \left [2- \left(1+ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \cdots \right) \right]$

$=2$

$cf)$

$n={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}{p_3}^{a_3}{p_4}^{a_4} \ \cdots$ 라 하자.

$2n= \left(1+p_1+{p_1}^2+ \cdots + {p_1}^{a_1} \right) \left(1+p_2+{p_2}^2+\cdots +{p_2}^{a_2} \right) \cdots$

$= \frac{{p_1}^{a_1+1} -1}{p_1-1} \cdot \frac{{p_2}^{a_2+1}-1}{p_2-1} \cdots$

약수의 역수들의 합

$= \left(1+ \frac{1}{p_1}+ \frac{1}{{p_1}^2}+ \cdots + \frac{1}{{p_1}^{a_1}} \right) \left(1+ \frac{1}{p_2}+ \frac{1}{{p_2}^2}+ \cdots + \frac{1}{{p_2}^{a_2}} \right) \cdots$

등비수열의 합 쓰면 이것도 '2'나옴.

아주 formal한 방법. Latex쓰기 귀찮아서=[

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군.환.체의 정의(공리)
Mathematics | 2010. 9. 9. 00:32

군(群)의 정의

다음의 공리를 만족하는 집합 G를 '군'이라고 부른다.

연산 ★에 대해 닫혀 있다.
임의의 원(元)에 대해 결합법칙이 성립한다.
항등원이 존재한다.
임의의 원에 대해 그 원에 대한 역원이 존재한다.

*아벨군의 정의에서는 '임의의 원에 대해 교환법칙이 성립한다'를 추가하면 됨

환(環)의 정의

다음의 공리를 만족하는 집합을 '환(環)'이라고 부른다.

-연산 ＋(덧셈)에 대해

닫혀 있다.
항등원이 존재한다.('0'이라고 부른다.)
모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 역원이 존재한다.

-연산 ×(곱셈)에 대해

닫혀 있다.
항등원이 존재한다.('1'이라고 부른다.)
모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.

-연산 ＋와 ×에 대해

모든 요소에 대해 분배법칙이 성립한다.

체(體)의 정의

다음의 공리를 만족하는 집합을 '체(體)'라고 부른다.

-연산 ＋(덧셈)에 대해

닫혀 있다.
항등원이 존재한다.('0'이라고 부른다.)
모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 역원이 존재한다.

-연산 ×(곱셈)에 대해

닫혀 있다.
항등원이 존재한다.('1'이라고 부른다.)
모든 요소에 대해 결합법칙이 성립한다.
모든 요소에 대해 교환법칙이 성립한다.
0 이외의 모든 요소에 대해 역원이 존재한다.

-연산 ＋와 ×에 대해

모든 요소에 대해 분배법칙이 성립한다.

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