직관을 따르는 용기

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classic&music | 2011. 4. 3. 22:29

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회전 변환
Mathematics | 2011. 3. 23. 21:49

누구나 할 수 있는 간단한 방법은 좌표 평면에서 θ만큼 회전한 후, 직사각형을 만들어 구하는 방법
두번 째 방법도 물론 개념을 알면 할 수 있지만ㅎ

우선 복소수를 도입한다.

복소수 $z$ 는 $a+bi$ 로 나타낼 수 있다. 또, 이는 $(a,b)$ 로 나타낼 수 있다.

좌표평면에 나타내 보면, 이 점 $z$ 는 원점과 점 사이의 거리 $r$ 과 동경 $\theta$ 을 매개로하여 나타낼 수 있다. $(a,b)=(rcos\theta,rsin\theta)$

$z=a+bi=\sqrt{a^2+b^2}(cos\theta+isin\theta)$ -극형식

복소수를 대충 알았다면 회전변환을 알아보자.

$r(cos\theta+isin\theta)(cos\alpha+isin\alpha)=rcos(\theta+\alpha)+isin(\theta+\alpha)$

이것이 의미하는 것은 $z$ 를 시계반대방향으로 $\alpha$ 만큼 회전한 것이다.
다시 적어보면

$z(cos\theta+isin\theta)=(a+bi)(cos\theta+isin\theta)$

$=acos\theta-bcos\theta+i(asin\theta+bcos\theta)=a'+ib'$

$\binom{x'}{y'}=\binom{cos\theta \ -sin\theta}{sin\theta \ \cos\theta}\binom{x}{y}$

회전변환의 행렬식을 알 수 있다.

행렬 명령어를 까먹어서 combination명령어로 썼더니 어색하다:^)

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젠센 부등식(Jensen's inequality)
Mathematics | 2011. 2. 22. 22:45

볼록 함수의 정의

$(0 \leq t \leq 1)$

$f \left(tx+(1-t)y \right) \leq tf(x)+(1-t)f(y)$

젠센 부등식

아래로 볼록하면 $i=1,2,3, \cdots , n$ 에 대해

$x_i \in I, w_i \geq 0, w_1+w_2+ \cdot +w_n=1$ 일 때,

$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+ \cdots +w_nf(x_n) \geq f \left(w_1x_1+w_2x_2+ \cdots +w_nx_n \right)$ 이다.

$pf)$

$n=2$ 는 볼록 함수의 정의로부터 성립함을 알 수 있다.

$n=k$ 일 때, 성립한다고 가정하자.

$w_1f(x_1)+w_2f(x_2)+ \cdots+ w_kf(x_k) \geq f \left(w_1x_1+w_2x_2 + \cdots + w_kx_k \right)$

$w_i >0 ( i=1,2,3, \cdots , k+1), w_1+\cdots +w_{k+1}=1$

$s_i=\frac{w_i}{1-w_{k+1}}>0, s_1+\cdots +s_k=1$

$\therefore s_1f(x_1)+\cdots +s_kf(x_k) \geq f(s_1x_1+ \cdots +s_kx_k)$

$w_1f(x_1)+\cdots +w_kf(x_k) \geq (1-w_{k+1})f(\frac{1}{1-w_{k+1}}(w_1x_1+ \cdots +w_kf(x_k))$

$w_1f(x_1)+ \cdots+w_kf(x_k)+w_{k+1}f(x_{k+1}) \geq (1-w_{k+1})f(\frac{1}{1-w_{k+1}}(w_1x_1+ \\ \cdots + w_kx_k))+w_{k+1}f(x_{k+1}), (1-w_{k+1}>0, w_{k+1}>0)$

$\geq f(w_1x_1+ \cdots +w_{k+1}x_{k+1})$

단, 등호는 $x_1=x_2=\cdots=x_n$

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π(pi)값 유도
Mathematics | 2010. 12. 28. 23:48

우선, arctan의 도함수를 구해보자.

$y= tan^{-1}{x}$ 라 하자.

$tany=x$ 의 양변을 $y$ 로 미분하면

$sec^2{y}=\frac{dx}{dy}$ 가 된다.

$sec^2{y}=1+tan^2{y}=1+x^2= \frac{dx}{dy}$

$\therefore\left( tan^{-1}{x} \right)'=\frac{1}{x^2+1}$

$1-x^2+x^4-x^6+- \cdots =\frac{1}{x^2+1}$

$\int_{0}^{1}(1-x^2+x^4+- \cdots)dx= \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2+1}dx$

$\left[x-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5-\frac{1}{7}x^7+- \cdots \right]_{0}^{1}= \frac{ \pi}{4}$

$\therefore \pi=4 \left ( 1-\frac{1}{3} +\frac{1}{5} - \frac{1}{7}+- \cdots \right)$

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