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전미분(total differentiation)
Mathematics | 2011. 7. 4. 21:32

1변수함수 $y=f(x)$ 에 대하여 미분 $dx$ 를 독립변수로 정의한다. 즉, $dx$ 는 임의의 실수값으로

주어질 수 있다. 이때 $y$ 의 미분은 다음과 같이 정의된다.

$dy=f'(x)dx$ $\Delta y$ 는 $x$ 가 $dx=\Delta x$ 만큼 변하였을 때 곡선 $y=f(x)$ 의 높이 변화를

나타내고, $dy$ 는 $x$ 가 $dx=\Delta x$ 만큼 변하였을 때 접선의 높이 변화를 나타낸다.

2변수함수 $z=f(x,y)$ 에 대하여 미분 $dx,dy$ 를 독립변수로 정의하자. 즉, $dx, dy$ 는

임의값으로 주어질 수 있다. 이때 미분 $dz$ 는 다음과 같이 정의된다.

$dz=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$

이 경우에 미분 $dz$ 는 전미분(total differential)이라고 부르기도 한다.

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테일러 정리(Taylor Theorem)와 테일러 급수(Taylor Series)
Mathematics | 2011. 4. 4. 02:20

테일러 정리

함수 $f(x)$ 가 어떤 구간 $I$ 에서 $n+1$ 회 미분가능이라 하고, 이 구간에서 $a$ 를 상수, $x$ 를 임의의 수라 할 때, 다음을 만족시키는 $c$ 가 $a$ 와 $x$ 사이에 있다. 즉, $a<c<x$ 이다

$f(x)=f(a)+\frac{{f(a)}'}{1!}(x-a)+\frac{{f(a)}''}{2!}{(x-a)}^2+\cdots+\ \frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}$

특히, $a=0$ 인 경우를 $Maclaurin Theorem$ 이라 한다

$f(x)=f(0)+\frac{{f(0)}'}{1!}x+\frac{{f(0)}''}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+R_n(x)$

여기서 $R_n(x)=\int_{0}^{x}f^{(n+1)}(t)\frac{{(x-t)}^n}{n!}dt$

테일러 급수

테일러 정리에서 

$\lim_{n->\infty}\frac{f^{(n+1)}}{(n+1)!}{(x-a)}^{n+1}=0$ 이면 함수 $f(x)$ 는 테일러 급수로 전개된다 하고,

$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}{(x-a)}^n$ 로 나타낼 수 있다

맥클로린 급수 또한 $a=0$ 인 경우, 위와 같다

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회전 변환
Mathematics | 2011. 3. 23. 21:49

누구나 할 수 있는 간단한 방법은 좌표 평면에서 θ만큼 회전한 후, 직사각형을 만들어 구하는 방법
두번 째 방법도 물론 개념을 알면 할 수 있지만ㅎ

우선 복소수를 도입한다.

복소수 $z$ 는 $a+bi$ 로 나타낼 수 있다. 또, 이는 $(a,b)$ 로 나타낼 수 있다.

좌표평면에 나타내 보면, 이 점 $z$ 는 원점과 점 사이의 거리 $r$ 과 동경 $\theta$ 을 매개로하여 나타낼 수 있다. $(a,b)=(rcos\theta,rsin\theta)$

$z=a+bi=\sqrt{a^2+b^2}(cos\theta+isin\theta)$ -극형식

복소수를 대충 알았다면 회전변환을 알아보자.

$r(cos\theta+isin\theta)(cos\alpha+isin\alpha)=rcos(\theta+\alpha)+isin(\theta+\alpha)$

이것이 의미하는 것은 $z$ 를 시계반대방향으로 $\alpha$ 만큼 회전한 것이다.
다시 적어보면

$z(cos\theta+isin\theta)=(a+bi)(cos\theta+isin\theta)$

$=acos\theta-bcos\theta+i(asin\theta+bcos\theta)=a'+ib'$

$\binom{x'}{y'}=\binom{cos\theta \ -sin\theta}{sin\theta \ \cos\theta}\binom{x}{y}$

회전변환의 행렬식을 알 수 있다.

행렬 명령어를 까먹어서 combination명령어로 썼더니 어색하다:^)

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